Nie cierpisz muzyki współczesnej? Byłeś kiepski z matematyki? Jeśli tak, powinien spodobać ci się ten felieton. Będzie o pewnym filmie animowanym, wyjątkowej kompozycji Oliviera Messiaena (Kwartet na koniec czasu) i o liczbach Fibonacciego. Niewiele Ci mówią te nazwiska? Nie martw się, nie jesteś wyjątkiem.

Na początek trochę historii i teorii matematyki

Olivier Messiaen skomponował Kwartet na koniec czasu w 1941 r., kiedy siedział w obozie koncentracyjnym Stalag VIII A w Görlitz (Zgorzelec). 75 lat później animator Simon Russell i matematyk Marcus du Sautoy połączyli siły, aby stworzyć niezwykle szczegółową wizualizację pierwszej części dzieła, Kryształowej liturgii. Oto ona.

O czym opowiada tak część? Z Internetu możesz dowiedzieć się, że to „[…] ranek. Samotny ptak improwizuje w otoczeniu krótkich fragmentów tonów oraz harmonicznego blasku chwały, który gubi się w wierzchołkach drzew. Pod kątem religijnym jest to harmoniczne milczenie nieba. Na fortepianie grane jest rytmiczne ostinato, które bazuje na trzech hinduskich rytmach. Na klarnecie kontynuowany jest śpiew ptaka”. Nudne, prawda?

Okazuje się, że o wiele ciekawsza jest matematyka ukryta w tym utworze i w animacji. Marcus du Sautoy wyjaśnił, że niektóre pojęcia matematyczne przyczyniły się do powstania filmu i samego kwartetu.

Liczby Fibonacciego


Są chyba najważniejsze w naturze. Ich określenie pochodzi od nazwiska XIII-wiecznego matematyka, Leonarda Fibonacciego. Uzyskuje się je poprzez dodanie do siebie dwóch poprzednich, np. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… itd. Fibonacci odkrył, że liczby te pojawiają się często w przyrodzie. Animacja do Kwartetu Messiaena również jest nimi wypełniona. Od momentu 1’ 01’’ dostrzeżesz, jak dno kwiatowe rozwija się w takt muzyki, przy użyciu liczb Fibonacciego. W naturze przykładów jest co niemiara: nasiona słonecznika ułożone są w tych proporcjach, pszczoły rozmnażają się zgodnie z założeniami ciągu Fibonacciego (1 rodzic, 2 dziadków, 3 pradziadków, 5 prapradziadków), forma łopatek w pospolitych szyszkach to nic innego jak ciąg Fibonacciego, budowa muszli ślimaków, opartych na spiralach, również podlega tej zasadzie liczbowej.

Boska proporcja

A teraz spójrz na animację w momencie 1’ 07’’. Ujrzysz pentagram. Został zbudowany zgodnie z matematyczną zasadą, zwaną złotą proporcją (też wynikającą z liczb Fibonacciego). W matematyce definiuje się, że jest to podział odcinka na dwie części tak, aby stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam jak całego odcinka do części dłuższej. Upraszczając, to stosunek 2/3 do 1/3. Złoty podział w muzyce stosował nie tylko Messiaen. Przed nim korzystali z niego m.in. Mozart, Debussy i Bartok.

Liczby pierwsze

W centralnej części animacji (1’ 25’’) zobaczysz niezwykła maszynę matematyczną. Zbudowana została z dwóch tarcz – mniejsza ma 17 zębów, większa 29. Mniejsza odpowiada za sekwencję rytmu, który powtarza się co 17 uderzeń akordów. Większa to sekwencja powtarzających się różnych akordów. Jest ich… Domyślasz się już ile? Tak! – 29. Aby trybiki ponownie się spotkały (wróciły do pozycji wyjściowej) musi przejść 17 x 29 = 493 kliknięć. To sztuczka z użyciem licz pierwszych. Liczba pierwsza – jeśli nie wiesz – to liczba naturalna, która dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie. W przyrodzie liczby pierwsze też mają zastosowanie. Na przykład w Ameryce Południowej żyje cykada, która rozmnaża się co 17 lat. Robi to tylko po to, aby uniknąć pewnego drapieżnika, który również rozmnaża się okresowo.

Dwanaście

Wróćmy jeszcze do animacji. Wieże zegarowe, które strzegą pływającej wyspy, pojawiają się w drugiej minucie filmu. Dwunastogodzinna tarcza symbolizuje pewien wyrafinowany muzyczny pomysł. Cała muzyka której słuchasz, zbudowana jest z dwunastu dźwięków. Właśnie tyle jest tonów od „do” (c) do następnego „do” (c1). Technika 12-tonowa, którą stosował w swoich kompozycjach Messiaen, jest niesamowita. Wyobraź sobie, że na dwunastu karteczkach masz napisane cyfry od 1 do 12. A teraz tasuj je tak, żeby wyjmując je z talii od góry jedna szła na wierzch, a druga pod spód. Kiedy rozłożysz nową talię, karty ułożą się według nowego porządku – najpierw parzyste (12, 10, 8, itd.), a potem nieparzyste (1, 3, 5, itd.). Według podobnego systemu Messiaen skomponował kilka swoich utworów.

Liczby Fibonacciego raz jeszcze

Pod koniec animacji zobaczysz mur otaczający pływającą wyspę. Zbudowany został z 34 części. Symbolizują one 34 rytmy, z których Messiaen ułożył Kryształową liturgię. Dlaczego 34?. Oczywiście, to znowu ciąg Fibonacciego.